Если обратить внимание, то все цифры, на которые оканчиваются кубы чисел, различные. Последние цифры кубов чисел 1, 4, 5, 6, 9 совпадают с последними цифрами чисел, возводимыми в третью степень. Для чисел 2, 3, 7, 8 последний искомой цифрой корней будут цифры представленные как разность между числом 10 и соответственно 2, 3, 7 или 8.
Определив вторую цифру корня мы можем найти и первую. Для этого следует отбросить последние три цифры и рассмотреть оставшееся число. Определив между кубами каких чисел оно расположено. Меньшее из них и есть первая цифра искомого числа.
Рассмотрим пример- попробуем извлечь корень третьей степени из числа 912673. Последняя цифра заданного числа - 3. Следовательно последняя цифра корня равна 10 - 3 =7.
Отбросив последние три цифры, получаем число 912 - находится между кубами 9 и 10. Меньшее из них - 9 и есть первая цифра корня.
Таким образом ответ: корень третей степени из 912673 = 97
В качестве второго примера вычислим корень третьей степени из 884736. Поскольку последняя цифра подкоренного выражения - 6, то и последняя цифра искомого ответа будет равна 6. Отбросив последние три цифры заданного числа, получим 884. Это число так же лежит между кубами 9 и 10, а значит искомый ответ 96.
Точно такой же прием можно применить при извлечении коря в уме из чисел от 1 до 10 миллионов. Но для этого нужно держать в уме так же кубы чисел от 11 до 20.
Рассмотрим подробнее:
Вычислим кубический корень из числа 5177717. Последняя цифра заданного числа 7. Значит последняя цифра искомого числа есть 10-7=3. Отбрасываем последние три цифры заданного числа. Оставшееся число 5177 расположено в таблице кубов между числавми 17 и 18. Меньшее 17 и есть первые две цифры основания степени. Так и получаем ответ: корень третий степени из 5177717 = 173
Ещё один пример. Вычислить корень третий степени из 7880599.
Последняя цифра подкоренного выражения 9 есть окончание корня. Число 7880 находится между числами 19 и 20. Следовательно искомый корень - 199.
Извлечение корня пятой степени происходит аналогично. Распишем таблицу степеней чисел от 1 до 10.
Нахождение корня из заданного числа достаточно просто и облегчается за счет того что все последние цифры чисел пятой степени совпадают с основанием степени. Бегло просмотрев подкоренные выражения, внимательный читатель сразу определит окончание основания. Затем быстро найдет первую цифру основания степенного выражения.
Рассмотри для примера корень пятой степени из 14348907.
Вторая цифра основания здесь равна 7. Отбрасывая пять последних цифр. Оставшееся число 143 находится в таблицу между числами 32 и 243. Меньшее число - 32. Его основание 2. Это и есть первая цифра искомого корня. Таким образом, ответ: корень пятой степени из 14348907 = 27.
Для извлечения корня седьмой степени надо пользоваться таблицей седьмой степени от 1 до 10.
Построим таблицу чисел:
Если посмотреть на окончание чисел, то заметим, что они такие же как и у чисел кубов. А значит, последняя цифра основания определяется теми же правилами.
В качестве примера извлечем корень седьмой степени из числа 3404825447. Последняя цифра подкоренного выражения - 7. Значит окончание искомого корня равно 10 - 7 =3.
Находим первую цифру основания степени. Зачеркиваем семь последних цифр заданного числа. Остается число 340. Оно расположено между степенями чисел 2 и 3. Меньшее из них - 2 есть первая цифра искомого корня. Ответ: корень седьмой степени из 3404825447 = 23.
Найдем быстро корень седьмой степени из числа 1 338 924 909 984. Последняя цифра подкоренного числа 4. Это - окончание корня. Число 133892 расположено в таблице между седьмыми степенями чисел 5 и 6. Меньшее из них - 5. Ответ: 54.
Для извлечения корня девятой степени составим таблицу следующую таблицу чисел 9ой степени:
10^9 = 1000000000
Последние цифры девятой степени совпадают (как и у пятой степени) с цифрой основания степени. Это облегчает нахождение корня. При нахождении первой цифры отбрасываем справа налево 9 цифр в заданном числе. Затем определяем место оставшегося числа. Меньшее из соответствующих оснований степени укажет первую цифру искомого корня.
Вычислим корень девятой степени из 46411484401953. Последняя цифра искомого корня здесь 3. Первая также 3, поскольку число 46411 расположено между девятыми степенями чисел 3 и 4. Ответ: корень девятой степени 46411484401953 = 33.
Так мы научились быстро извлекать корни нечетных степеней из чисел, величина которых достигает астрономических значений, состоящих из сотен миллиардов и даже сотен триллионов. Оказывается, что за десятки секунд можно извлечь корень третей, пятой, седьмой, девятой и значительно большей степени.
Точное извлечение корня из заданного числа четной степени - четвертой, шестой, восьмой и т.д. - является делом более сложным.
Корнем n-й степени из числа b называется такое число a, что a^n=b. Соответственно, корень 5-й степени из числа b – это число a, дающее при возведении в пятую степень b. Например, 2 – корень пятой степени из 32, т.к. 2^5=32.
Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как извлечь корень 5 степени" Как посчитать корень в пятой степени Как найти квадратный корень из числа Как извлечь корень третьей степени
Инструкция
Чтобы извлечь корень пятой степени, представьте подкоренное число или выражение в виде пятой степени другого числа или выражения. Оно и будет являться искомой величиной. В некоторых случаях такое число видно сразу, в других его придется подбирать. Знак для корня пятой степени сохраняется. К примеру, если под корнем стоит отрицательное число, то и результатом будет отрицательное. Извлечение корня 5 степени из положительного числа дает положительное число. Таким образом, знак «минус» можно вынести из-под знака корня. Иногда для того, чтобы извлечь корень 5 степени, нужно преобразовать выражение. Казалось бы, из полинома x^5-10x^4 +40x^3-80x^2+80x-32 корень извлечь нельзя. Однако при внимательном рассмотрении можно убедиться, что это выражение сворачивается в (x-2)^5 (вспомните формулу для возведения бинома в пятую степень). Очевидно, что корень 5 степени из (x-2)^5 равен (x-2). В программировании для нахождения корня используют рекуррентное соотношение. Принцип основан на начальном предположении и дальнейшем повышении точности. Пусть требуется написать программу для извлечения корня пятой степени из числа A. Задайте начальное предположение x0. Далее задайте рекуррентную формулу x(i+1)=1/5. Повторяйте этот шаг до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Повторение реализуется за счет прибавления единицы к индексу i. Как просто
Другие новости по теме:
Перед вами стоит задача извлечения кубического корня из числа. Значок корня с цифрой три рядом может по-началу запутать неискушенного в математике человека. Поэтому перед извлечением кубического корня, стоит сначала ознакомиться с определением самого кубического корня. Спонсор размещения P&G Статьи
Корень в математике может иметь два значения: это арифметическое действие и каждое из решений уравнения, алгебраического, параметрического, дифференциального или любого другого. Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Что такое корень" Как найти корень дискриминанта Как найти корень квадратного
Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением. При отсутствии показателя степени корень является квадратным, в противном случае цифра указывает показатель степени. Вам понадобится - ручка; -
Иногда возникают ситуации, когда приходится выполнять какие-либо математические вычисления, в том числе извлекать корни квадратные и корни большей степени из числа. Корень степени "n" из числа "a" представляет собой число, n-я степень которого и есть число "a". Спонсор размещения P&G Статьи по теме
Арифметическим корнем n-й степени из действительного числа a называют такое неотрицательное число x, n-я степень которого равна числу a. Т.е. (vn) a = x, x^n = a. Существуют различные способы сложения арифметического корня и рационального числа. Здесь для большей наглядности будут рассмотрены
Математическая операция извлечения корня означает нахождение такого значения, при возведении которого в заданную степень получается число, указанное после символа корня. Это самое число после символа корня называют «подкоренным», а в самом символе указывают ее степень - «показатель» корня. Если
При решении некоторых технических задач бывает нужно посчитать корень третьей степени. Иногда это число еще называют кубическим корнем. Корнем третьей степени из данного числа называют такое число, куб (третья степень) которого равняется данному. То есть если y – корень третьей степени числа x, то
Корень n-ной степени из числа x - это такое неотрицательное число z, которое при возведении в n-ную степень превращается в x. Определение корня входит в список основных арифметических операций, с которыми мы знакомимся еще в детстве.
Математическое обозначение
«Корень» произошел от латинского слова radix и сегодня слово «радикал» используется как синоним данного математического термина. С 13-го века математики обозначали операцию извлечения корня буквой r с горизонтальной чертой над подкоренным выражением. В 16-веке было введено обозначение V, которое постепенно вытеснило знак r, однако горизонтальная черта сохранилась. Его легко набирать в типографии или писать от руки, но в электронных изданиях и программировании распространилось буквенное обозначение корня - sqrt. Именно так мы и будем обозначать квадратные корни в данной статье.
Квадратный корень
Квадратным радикалом числа x называется такое число z, которое при умножении на самого себя превращается в x. Например, если мы умножим 2 на 2, то получим 4. Двойка в этом случае и есть квадратный корень из четырех. Умножим 5 на 5, получим 25 и вот мы уже знаем значение выражения sqrt(25). Мы можем умножить и – 12 на −12 и получить 144, а радикалом 144 будет как 12, так и −12. Очевидно, что квадратные корни могут быть как положительными, так и отрицательными числами.
Своеобразный дуализм таких корней важен для решения квадратных уравнений, поэтому при поиске ответов в таких задачах требуется указывать оба корня. При решении алгебраических выражений используются арифметические квадратные корни, то есть только их положительные значения.
Числа, квадратные корни которых являются целыми, называются идеальными квадратами. Существует целая последовательность таких чисел, начало которой выглядит как:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…
Квадратные корни других чисел представляют собой иррациональные числа. К примеру, sqrt(3) = 1,73205080757… и так далее. Это число бесконечно и не периодично, что вызывает некоторые затруднения при вычислении таких радикалов.
Школьный курс математики утверждает, что нельзя извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Как мы узнаем в вузовском курсе матанализа, делать это можно и нужно – для этого и нужны комплексные числа. Однако наша программа рассчитана для извлечения действительных значений корней, поэтому она не вычисляет радикалы четной степени из отрицательных чисел.
Кубический корень
Кубический радикал числа x - это такое число z, которое при умножении на себя три раза дает число x. Например, если мы умножим 2 × 2 × 2, то получим 8. Следовательно, двойка является кубическим корнем восьми. Умножим три раза на себя четверку и получим 4 × 4 × 4 = 64. Очевидно, что четверка является кубическим корнем для числа 64. Существует бесконечная последовательность чисел, кубические радикалы которых являются целыми. Ее начало выглядит как:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…
Для остальных чисел кубические корни являются иррациональными числами. В отличие от квадратных радикалов, кубические корни, как и любые нечетные корни, можно извлекать из отрицательных чисел. Все дело в произведении чисел меньше нуля. Минус на минус дает плюс – известное со школьной скамьи правило. А минус на плюс – дает минус. Если перемножать отрицательные числа нечетное количество раз, то результат будет также отрицательным, следовательно, извлечь нечетный радикал из отрицательного числа нам ничего не мешает.
Однако программа калькулятора работает иначе. По сути, извлечение корня – это возведение в обратную степень. Квадратный корень рассматривается как возведение в степень 1/2, а кубический – 1/3. Формулу возведения в степень 1/3 можно переиначить и выразить как 2/6. Результат один и тот же, но извлекать такой корень из отрицательного числа нельзя. Таким образом, наш калькулятор вычисляет арифметические корни только из положительных чисел.
Корень n-ной степени
Столь витиеватый способ вычисления радикалов позволяет определять корни любой степени из любого выражения. Вы можете извлечь корень пятой степени из куба числа или радикал 19 степени из числа в 12 степени. Все это элегантно реализовано в виде возведения в степени 3/5 или 12/19 соответственно.
Рассмотрим пример
Диагональ квадрата
Иррациональность диагонали квадрата была известна еще древним греками. Они столкнулись с проблемой вычисления диагонали плоского квадрата, так как ее длина всегда пропорциональна корню из двух. Формула для определения длины диагонали выводится из и в конечном итоге принимает вид:
d = a × sqrt(2).
Давайте определим квадратный радикал из двух при помощи нашего калькулятора. Введем в ячейку «Число(x)» значение 2, а в «Степень(n)» также 2. В итоге получим выражение sqrt(2) = 1,4142. Таким образом, для грубой оценки диагонали квадрата достаточно умножить его сторону на 1,4142.
Заключение
Поиск радикала – стандартная арифметическая операция, без которой не обходятся научные или конструкторские вычисления. Конечно, нам нет нужды определять корни для решения бытовых задач, но наш онлайн-калькулятор определенно пригодится школьникам или студентам для проверки домашних заданий по алгебре или математическому анализу.
Похожие статьи
