• Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
  Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
  где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
  b i , i = 1, …, m — свободные члены;
  x j , j = 1, …, n — неизвестные.
  Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
  
  
  
  
  где (A |B ) — основная матрица системы;
  A — расширенная матрица системы;
  X — столбец неизвестных;
  B — столбец свободных членов.
  Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
  Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
  Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
  Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
  Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
  Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
• Системы n линейных уравнений с n неизвестными
  Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
  Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
  Правило Крамера.
  Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
  где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. .
• Системы m линейных уравнений с n неизвестными
  Теорема Кронекера−Капелли .
  
  
  Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
  Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
  Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
  1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
  2) rang(Α) < n − решений бесконечно много.
• Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
  
  
  Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
  Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
  К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
  1) перемена местами двух строк;
  2) умножение строки на число, отличное от 0;
  3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
  4) выбрасывание нулевой строки.
  Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. .
• Система однородных линейных уравнений.
  Однородная система имеет вид:
  
  ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
  1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
  2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
  3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
  4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
  X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
  где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
  5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
  
  ,
  если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
  Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
  Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
  Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
  Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
  Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
  Доказательство :
  1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
  2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
  Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

5.1. Правило Крамера

Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче - решению и исследованию систем уравнений 1-ого порядка. Начнем изучение этого вопроса с разбора того основного случая, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Помножим все члены 1-го уравнения системы (1) на А 11 - алгебраическое дополнение элемента а 11 матрицы А, все члены 2-го уравнения системы (1) на А 21 - алгебраическое дополнение элемента а 21 матрицы А, наконец, все члены n-го уравнения системы (1) на А n1 - алгебраическое дополнение элемента а n1 матрицы А. Тогда получим систему

(1")

Прибавим почленно все уравнения системы, получим

(a i1 A i1)x 1 +(a i2 A i1)x 2 +...+(a in A i1)x n =b i A i1

Согласно теоремы про алгебраические дополнения имеем

a i1 A i1 =det A a i2 A i1 =0, ........., a in A i1 =0

Поэтому полученное уравнение можно переписать в виде

Рассмотрим матрицу

,

Полученную из матрицы А заменой элементов 1-го столбца столбцом свободных членов уравнений системы. Раскладывая det B1 по элементам 1-го столбца, получим det B 1 =b i A i1 , а потому

Аналогично, умножив уравнения системы (1) соответственно на Аі2 (и=1, 2, ... n) и добавляя их, получим

,

Поступив таким образом и в дальнейшем, получим систему уравнений

(2),

Где матрица Вk получена из А заменой k-го столбца столбцом свободных членов. Очевидно, любое решение системы (1) является и решением системы (2).

(3)

Напомним, что формулы (3) получены с предположением, что система (1) имеет решение. Непосредственной подстановкой найденных значений Х і в систему (1) можно убедиться в том, что они являются решением системы (1) и, следовательно, в предположении, что
, система (1) имеет решение и к тому же единственное.

^ Теорема (теорема Крамера): если определитель основной матрицы системы п уравнений 1-го порядка с п неизвестными отличный от нуля, тогда система имеет единственное решение. При этом значение каждого из неизвестных равно части от деления определителей двух матриц: в знаменателе стоит определитель основной матрицы системы, а в числителе определитель матрицы, полученной из основной матрицы системы заменой столбца, что отвечает выбранному неизвестному, столбцом свободных членов.

Из этой теоремы выходит, что если система уравнений однородная то есть свободные члены во всех уравнениях системы равны нулю, и если определитель основной матрицы системы отличный от нуля, тогда система имеет только нулевое решение. Действительно, в таком случае, матрицы, определители которых стоят в числителе формул (3), содержат столбец, который включает в себя лишь нули, и, следовательно, все числа Х і равны нулю. Из доказанного вытекает следующая теорема:

^ Если система п однородных уравнений 1-го порядка с п неизвестными имеет хотя бы одно ненулевое решение, тогда определитель основной матрицы системы равен нулю. Действительно, если бы этот определитель был не равен нулю, тогда система имела бы только нулевое решение, что противоречит условию.

В дальнейшем мы докажем, что равенство нулю определителя системы есть не только обязательное, необходимое условие существования ненулевого решения, но и условие, достаточное для существования такого решения. Иначе говоря, если определитель системы однородных уравнений равен нулю, тогда система имеет ненулевое решение (и при этом бесконечное множество таких решений).

^ 5.2. Решение и исследование систем уравнений первого порядка методом полного исключения (Метод Гаусса).

Формулы Крамера дают возможность, используя прием вычисления определителей, найти числовые значения решения системы уравнений в случае, когда определитель основной матрицы системы отличный от нуля. Но практическое применение этих формул во многих случаях усложнено. Прежде всего, необходимо отметить, что для нахождения решений по формулам (3) необходимо вычислить n+1 определитель n-го порядка, что представляет собой довольно трудоемкую работу, даже при использовании тех приемов, которые были указаны в §4. Но самое главное то, что в случае, когда коэффициенты уравнения заданы приближенно (в реальных задачах это бывает почти всегда), погрешность решения может быть довольно большая. Это объясняется тем, что слагаемые, которые входят в каждый из определителей, через которые определяется решение системы, могут быть довольно большие (напомним, они представляют собою произведение n сомножителей - различных коэффициентов расширенной матрицы системы), а сам определитель, который представляет собой алгебраическую сумму таких слагаемых, может быть малый. Даже в том случае, когда коэффициенты в системе исходных уравнений известны точно, но сами вычисления ведутся с учетом лишь заданного числа значащих цифр, мы по тем же причинам сможем получить довольно большие погрешности в результате. А потому при практическом решении систем уравнений в большинстве случаев используют не формулы Крамера, а другие приемы вычислений.

В данном курсе мы рассмотрим метод полного исключения, относительно решения систем уравнений 1-ого порядка также и в том случае, когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных. Но изложение этого метода начнем с основного случая: когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Таким образом, пусть снова задана система n уравнений с n неизвестными:

(1)

Поскольку хотя бы один из коэффициентов a i1 отличный от нуля (иначе в систему вообще не входило бы х1), и уравнения в системе возможно менять местами, тогда без какого-либо ограничения всеобщности можно считать, что
Поделим 1-е уравнение системы на a11 и приведем его к виду ,

Перемножая все члены полученного уравнения на аі1 и вычитая из і -го уравнения системы (1), получим новую систему

(2),

i=1, 2, ..., n; k=1, 2, ... , n

Поскольку уравнения системы (2) получены как линейные комбинации уравнений системы (1), то любое решение системы (1) является также и решением системы (2). Вместе с тем поскольку

То уравнения системы (1) могут быть получены как линейная комбинация уравнений системы (2). Следовательно, любое решение системы (2) является и решением системы (1). Таким образом, система (1) и (2) равнозначны. (Линейной комбинацией двух уравнений с 11 х 1 +с 12 х 2 +...+с 1n х n =d 1 і, с 21 х 1 +с 22 х 2 +...+с 2n х n =d 2 будем называть уравнение  1 (c 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n) + 2 (c 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n)= 1 d 1 + 2 d 2 , где  1 та  2 - числа)

Сравним теперь определители D1 и D2 основных матриц систем (1) и (2). Первая строка основной матрицы системы (2) получена из первой строки основной матрицы системы (1) делением на а 11 . Такая операция отвечает делению D1 на а11. Другие строки получены вычитанием из соответствующих строк основной матрицы системы (1) величин, пропорциональных первой строке. Эта операция не изменяет величины определителя. Отсюда выходит, что определитель D2 основной матрицы системы (2) равен . А потому
, если
и D2=0, если D1=0. Отметим, наконец, что вычисления мы проводили только с коэффициентами уравнений системы (1), поэтому нет необходимости писать сами уравнения. Достаточно написать лишь расширенную матрицу системы и преобразовать только элементы этой матрицы.

Будем обозначать переход от одной расширенной матрицы к другой, то есть фактически переход от одной системы уравнений к системе, ей равнозначной, символом или
. Тогда проведенные операции можно записать так:

Будем считать сначала, что определитель D1 основной матрицы системы (1) отличный от нуля. Тогда, как сказано выше,
, а потому, в крайнем случае, одно из чисел
(и=1, 2, ... , n) отлично от нуля, поскольку, если бы все были равны нулю, был бы равен нулю и определитель D2 основной матрицы системы (2).

Поскольку уравнения в системе (2) можно менять местами, поэтому, без ограничения, можно считать, что
. Поделим 2-е уравнение системы (2) на
, помножим полученную строку на (і=1, 3, 4, ... , n) и вычтем из і-й строки.

Тогда будем иметь

Система уравнений, что отвечает матрице В 3 , равнозначна системе (2), а поэтому и исходной системе (1). Определитель D3 основной матрицы этой системы отличный от нуля, поскольку отличный от нуля определитель D2. Отсюда, в крайнем случае, одно из чисел
(и=3, ... , n) отлично от нуля и можно снова провести те ж операции, что и ранее. Продолжая аналогичные размышления, после n операций получим матрицу

Соответствующая система уравнений имеет вид

(3),

Ее единственным решением есть (4)

Поскольку система (3) равнозначна системе (1), имеет единственное решение, то имеет единственное решение, что определяется формулами (4), и исходная система(1).

Пример 1 . Решить систему

Решение

x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2

Отметим, если система однородна, то есть все числа bi (и=1, 2, ... , n) равны нулю, тогда равны нулю и все числа
Поэтому система (1) имеет в этом случае только нулевое решение.

Пусть теперь определитель D1 основной матрицы системы (1) равен нулю. Тогда уже нельзя утверждать, что среди чисел
(и=m, m+1, ... , n), полученных после (m-1)-го этапа преобразований, будет хотя бы одно, отличное от нуля. Больше того, на каком-то этапе все эти числа обязательно станут равными нулю (иначе мы имели бы разобранный случай). Таким образом, пусть получена матрица

Переставим m-ый столбец матрицы на место n-го, а все следующие за m-м столбцом, кроме столбца свободных членов
сдвинем на одно место влево (такая операция, очевидно, означает перестановку неизвестных в уравнениях системы или их перенумерацию, что, конечно, не изменяет решения системы). В результате получим матрицу

,

И=1, 2, ... , n;

k=m, m+1, ... , n.

Продолжая те ж преобразования, что и ранее, получим, в конечном счете, матрицу

(5)

Матрице (5) отвечает система уравнений

(6),

в которой неизвестные отличаются от неизвестных х і в системе (1) лишь нумерацией. Поскольку система (6) равнозначна системе (1), тогда вывод о решении системы (1) равносильный выводу о решении системы (6).

Очевидно, что если хотя бы одно из чисел
(и=k+1, ... , n) не равно нулю, тогда уравнение системы (6), а потому и уравнение системы (1), несовместимы. Если есть все (і=k+1, ... , n) равны нулю, тогда уравнения совместны. При этом неизвестным
можно дать любые значения, и система имеет такие решения:

,

где t1, t2, ... , te ( =n-k) произвольные

Для того, чтобы было удобно возвращаться к исходной системе неизвестных, полезно над столбцами матриц, которые получаются при проведении преобразований, надписывать обозначения соответствующих неизвестных. Укажем, кроме того, что если исходная система (1) однородна, тогда все числа (и=1, 2, ... , n) равны нулю. Поэтому имеют место такие два утверждения.

1. Система однородных уравнений 1-ого порядка всегда совместна.

2. Если определитель системы однородных уравнений 1-ого порядка равен нулю, тогда система имеет бесконечное множество решений.

Пример 2

Решение

Система уравнений, что отвечает полученной матрице, имеет вид:

Система совместна, х4=t произвольно. Система имеет бесконечное множество решений

причем t - произвольное число.

Отметим, что если бы свободные члены в уравнениях были другими, чем задано в условии, система могла бы быть несовместимой. Пусть, например, b4=1. Тогда преобразованная матрица системы будет

и последнее уравнение системы приобретет такой вид 0х1+0х2+0х3+0х4=1, что не имеет смысла.

Пример 3.

Решение.

Система совместима, х2=t произвольно; x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1.

Разобранный метод без каких-либо изменений переносится и на тот случай, когда число неизвестных не совпадает с числом уравнений.

ІІ. Примеры решения задач

1.20. Решить систему

Вычислим определитель системы

Поскольку определитель системы отличный от нуля, применим правило Крамера. Для вычисления определителя detB1 заменим столбец определителя системы столбцом из свободных членов
. Имеем

Определитель detB2 получим заменой столбца
определителя системы столбцом из свободных членов:

Согласно правила Крамера, находим
;

Совокупность чисел (5;-4) является единственным решением данной системы.

1.21. Найти решения системы

Определитель из коэффициентов системы отличный от нуля:

detA=
=2·3·(-5)+5·(-9) ·2+(-8) ·4·3-(-8) ·3·2-5·4·(-5)-2·3·(-9)=-140

Поэтому можно применить правило Крамера

отсюда находим
;
;

Совокупность чисел (3, 2, 1) является единственным решением системы.

1.22. Решить систему

/IVp+II-I-III/ ~

Нетрудно видеть, что определитель из коэффициентов системы равен нулю, поскольку 4-ая строка его состоит из нулей. Последняя строка расширенной матрицы свидетельствует о том, что система не совместна.

1.23. Решить систему

Выпишем расширенную матрицу системы

/IIp. -2· I, IIIp. -I, IVp. -II-III/ ~
~

/поделим ІІІр. на (-3), IVp. на (-3)/

~
/ІІІр. +2· ІІ/ ~

В результате всех преобразований данная система линейных уравнений свелась к треугольному виду.

Она имеет единственное решение.

х3=1 х4=-1 х2=-2 х1=2 ▲

Уравнения совместимы, х4=t произвольно,

1.25. Найти решения системы

Система совместна, х4=t произвольно,

1.26. Решить систему

Система совместима, х4=t произвольно, x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t. ▲
^

§6 Ранг матрицы, теорема о совместимости систем уравнений первого порядка

Для исследования многих вопросов, связанных с решением систем уравнений 1-ого порядка, часто вводят понятие ранг матрицы.

Определение. Рангом матрицы называется самый высокий порядок отличного от нуля определителя квадратной субматрицы, полученной из заданной матрицы вычеркиванием некоторых строк и столбцов.

Рассмотрим, например, матрицу

Вычеркиванием любого числа строк и столбцов невозможно из заданной матрицы получить квадратную матрицу порядка выше 3-го. Отсюда, ранг ее не может быть больше трех. Но, вычеркивая один из столбцов, мы будем получать квадратные матрицы, которые имеют две одинаковые строки, а потому их определители равны нулю. Отсюда, ранг исходной матрицы меньше 3-х. Вычеркнув, например, 3-й и 4-й столбец и 3-й строку, получим квадратную матрицу
, определитель которой не равен нулю. Таким образом, все определители субматрицы 3-го порядка равны нулю, но среди определителей матриц 2-го порядка есть отличный от нуля. Тем самым ранг исходной матрицы равен двум.

Докажем теорему: ранг матрицы не изменяется при линейных операциях с ее строками.

Действительно, линейные операции со строками какой-либо матрицы приводят к тем же линейным операциям со строками любой субматрицы. Но, как указано выше, при линейных операциях со строками квадратных матриц определители этих матриц получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля. Отсюда, нулевой определитель остается нулевым, а отличный от нуля - отличным от нуля, то есть не может измениться наивысший порядок отличного от нуля определителя субматриц. Не влияет, очевидно, на ранг матрицы и перестановка столбцов, поскольку такая перестановка может влиять лишь на знак соответствующих определителей.

Из доказанной теоремы выходит, что рассмотренные в предыдущем параграфе преобразованные матрицы имеют тот же ранг, что и исходные. Поэтому ранг основной матрицы системы уравнений первого порядка равен числу единиц на главной диагонали преобразованной матрицы.

Докажем теперь теорему про совместимость систем уравнений 1-ого порядка (теорема Кронекера-Капелли): для того чтобы система уравнений 1-ого порядка была совместима, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы.

Пусть ранг основной матрицы системы равен k. Если ранг расширенной матрицы системы также равен k, тогда это означает, что или система содержит только k уравнений, или - все числа
(i= k+1, ... , k) в преобразованной матрице равны нулю (в противном случае ранг расширенной матрицы преобразованной, а потому и исходной системы был бы k +1)

Пусть ранг превращенной (а потому и исходной) расширенной матрицы системы больше k, то есть больше, чем число единиц на главной диагонали преобразованной матрицы. Тогда существует хотя бы одна субматрица (k+1)-го порядка, определитель которой не равен нулю. Такая субматрица может быть получена только прибавлением к единичной матрице порядка k (что находится в левом верхнем углу превращенной матрицы) какой-то одной строки и столбца, который состоит из первых k свободных членов уравнений преобразованной системы и любого одного свободного члена из следующих n-k уравнений. Чтобы определитель указанной субматрицы был отличный от нуля, отличным от нуля должен быть и этот последний добавленный элемент, то есть число (i=k+1, ... , k). Но, как было доказано ранее, в этом случае
система несовместима. Следовательно, система совместима тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

ІІ. Примеры решения задач

1.39. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

Где знак указывает, что соединенные ним матрицы получаются одна из другой элементарными преобразованиями, а потому имеют один и тот же ранг.

Ранг матрицы А равен 2, то есть r=2. ^

1.40. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

r=3, т.к. определитель треугольной матрицы с первых трех столбцов не равен нулю. ▲

Вычисление рангу матрицы методом обрамления

Выбираем в данной матрице минор второго порядка, отличный от нуля. Потом вычисляем миноры третьего порядка, которые обрамляют (включают в себя) выбранный, пока не найдем среди них отличного от нуля. Дальше вычисляем миноры четвертого порядка, которые обрамляют отличный от нуля минор ІІІ-го порядка, пока не найдем среди них отличный от нуля, и т.д. Если найти отличный от нуля минор r-го порядка, а все обрамляющие его миноры (r+1)-го порядка равны нулю или их уже нет, то ранг матрицы равен r.

1.41. Вычислить ранг матрицы

∆
Вычеркнули ІІІр. , поскольку 2·ІІр. +І естьІІІр.

Выберем, например,

Вычислим миноры ІІІ-го порядка, которые обрамляют его

минор ІІІ-го порядка отличный от нуля.

Он содержится в определителе IV порядка заданной матрицы, который равен нулю. Следовательно, r=3. ▲

1.42. Решить системы уравнений

а) Здесь r(A)=3, r(B)=3; система совместимая, определенная.

Поскольку
,

тогда из первых трех систем, например, согласно формул Крамера, находим

х1=-1, х2=0, х3=1

b) Здесь r(A)=2, r(B)=2; система совместима, но не определенная.

Определитель

и из первых двух уравнений системы

где неизвестным х3 и х4 можно давать любые значения.

в) в этом случае r(A)=2, r(B)=3; и система несовместима.

1.43. Методом Гаусса (последовательного исключения неизвестных) решить однородную систему уравнений:

и найти ее фундаментальную систему решений.

Выпишем расширенную матрицу системы (при этом нулевой столбец можно, конечно, не писать). После понятных преобразований будем иметь

то есть заданная система равнозначна следующей:

Здесь r=3, и три неизвестных можно выразить через последние, например, так:

х 2 =-2х 3 -3х 4 -9х 5 =-2х 3 -12х 5

х 1 =-2х 2 -3х 3 -4х 4 -5х 5 =х 3 +15х 5

Фундаментальную систему можно получить, если свободным неизвестным х3, х5 придавать значение х3=1, х5=0 (тогда х1=1, х2=-2, х4=0) и значение х3=0, х5=1 (тогда х1=15, х2=-12, х4=1). Это дает фундаментальную систему решений:

e 1 =(1, -2, 1, 0, 0), e 2 =(15, -12, 0, 1, 1)

С использованием фундаментальной системы часто записывают общее решение в виде линейной комбинации решений е 1 та е 2 , то есть:

1.44. Найти фундаментальную систему решений системы линейных уравнений и записать ее общее решение

Третью строку отбросим. Система свелась к ступенчатой с основніми неизвестными х1, х2 и свободными х3, х4:

Из последнего уравнения
. Из первого
Свободных неизвестных 2. Поэтому берем определитель ІІ порядка с единичными элементами главной диагонали и нулевыми - побочной:
.

Получим вектор e 1 = (
)

Векторы e 1 и e представляют собой фундаментальную систему решений.

Теперь общее решение можно записать в виде

Присваивая коэффициентам , любые (произвольные) числовые значения будем получать разнообразные частичные решения.

/из всех строк вычтем IV/

II, III, V строки, которые пропорциональны к І-й, вычеркнем. В полученной матрице переставим І и ІІ столбцы:

Ранг матрицы равен 2.

Основные неизвестные х2 и х1. Свободные - х3, х4, х5. Система теперь имеет вид:

Присваивая свободным неизвестным последовательно значения, которое равны элементам столбцов определителя

1) х3=1, х4=0, х5=0; 2) х3=0, х4=1, х5=0; 3) х3=0, х4=0, х5=1

1) х2=1, х1=1; 2) х2=1, х1=-2; 3) х2=-2, х1=1

то есть векторы С 1 =(1, 2, 1, 0, 0)

С 2 =(-2, 1, 0, 1, 0)

С 3 =(1, -2, 0, 0, 1)

составляют фундаментальную систему решений. Общее решение системы теперь останется.

Матрица коэффициентов

имеет ранг r=2 (проверьте).

Выберем за базисный минор

Тогда сокращенная система имеет вид:

Откуда, считая х3=с1, х4=с2, х5=с3, находим

Общее решение системы

Из общего решения находим фундаментальную систему решений

С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано

e=с1e1+с2e2+с3e3
^

§7 Основные операции с матрицами

В предыдущем параграфе широко применялись линейные операции со строками и столбцами различных матриц. Но в некоторых вопросах линейной алгебры приходится рассматривать операции с матрицами как с единым объектом.

В основе изучения операций с матрицами лежит понятие равенства матриц. Будем исходить из такого определения : две матрицы одной и той ж размерности называются равными, если равны все их соответствующие элементы.

Следовательно, матрицы А і В одной и той же размерности nxm равны тогда и только тогда, когда Aik=Bik i=1, 2,... , n; k=1, 2,... , m. При этом еще раз подчеркнем, что сравнивать можно лишь матрицы одной и той же размерности.

Суммой двух матриц А и В одной и той же размерности nxm называется матрица С той же размерности такая, что

(С) ik =(A) ik +(B) ik (1)

Следовательно, при прибавлении матриц (прибавлять можно только матрицы одной и той же размерности) надо складывать все их соответствующие элементы.

Поскольку прибавление матриц сводится к прибавлению чисел - элементов этих матриц, очевидно, имеет место коммутативное и ассоциативное свойство.

А+В=В+А; (А+В)+С=А+(В+С) (2)

Произведением матрицы А на число  (или числа  на матрицу А) называется матрица В такая, что

(В) ik =(A) ik (3),

то есть при умножении матрицы на число (или числа на матрицу) необходимо все элементы матрицы умножить на это число. Напомним, что при умножении на число определителя матрицы достаточно было умножить на это число лишь элементы любой строки (или столбца).

Легко проверить, что при умножении матрицы на число имеет место распределительное свойство:

(А+В)=А+В; (+)=А+В (4)

Определим теперь произведение двух матриц. Пусть дана матрица А размерности nxm и матрица В размерности mxp.

Определение. Произведением матрицы А размерности nxm на матрицу В размерности mxp называется матрица С размерности nxp такая, что

(5),

иначе говоря, для получения элемента, что находится в і-й строке и в k-ом столбцу матрицы произведения, нужно вычислить сумму произведений элементов і-й строки первого множителя и соответствующих элементов k-го столбца второго множителя. Следовательно, для того чтобы возможно было сложить указанную сумму, нужно равенство числа столбцов в первой матрице (то есть число элементов в каждой строке) числу строк в другой (то есть числу элементов в каждом столбце).

Пример 1.

Найти АВ

Решение. Матрица А имеет размерность 3х2, матрица В 2х2; произведение существует - это матрица размерности 3х2.

Произведение матриц не имеет переставного свойства: АВ, вообще говоря, не равно ВА.

Во-первых, из того, что можно вычислить АВ, совсем не выходит, что имеет смысл ВА. Например, в только что разобранном примере перестановка множителей, то есть умножение В на А невозможно, поскольку нельзя матрицу размерности 2х2 умножить на матрицу размерностью 3х2 - число столбцов первой матрицы здесь не равно числу строк другой. Но даже если произведение ВА существует, то нередко
. Рассмотрим пример.

Пусть
. Тогда

Вместе с тем, можно доказать (такое доказательство мы рекомендуем провести читателю), что

(АВ)С=А(ВС) (6)

А(В+С)=АВ+АС

(обычно принимается к вниманию, что все эти произведения имеют смысл).

В соответствии с определением произведения матриц всегда возможно умножение квадратных матриц одного порядка, при этом произведение будет матрицей того же порядка. Отметим без доказательства одно из свойств произведения квадратных матриц одного порядка: определитель произведения двух матриц одного и того же порядка равен произведению определителей матриц, которые перемножаются.

Очень часто приходится рассматривать произведение матрицы размерности nxm на матрицу размерности mx1, то есть на матрицу с одним столбцом. Очевидно, мы должны получить в результате матрицу размерности nx1, то есть также матрицу с одним столбцом. Пусть, например, необходимо умножить матрицу

на матрицу

В результате получим матрицу
, элементы которой исчисляются по формулам:

Но это означает, что систему уравнений 1-ого порядка, рассмотренную в предыдущем параграфе, можно записать в очень удобной матричной форме: АХ=В.

Существенную роль в различных применениях матричной алгебры играет квадратная матрица, у которой все диагональные элементы (то есть элементы, которые находятся на главной диагонали) равны 1, а все другие элементы равны нулю. Такая матрица называется единичной матрицей. Очевидно, что определитель единичной матрицы

= 1

Характерны следующие свойства единичной матрицы: пусть задана квадратная матрица А порядка n и Е-единичная матрица того же порядка. Тогда АЕ=ЕА=А.

Действительно
, но

Поэтому в сумме
отличные от нуля только те составные, для которых e=k. Следовательно, (АЕ) ік =(А) ік, и отсюда АЕ=А. Аналогично получаем и для произведения ЕА.

Примеры решения задач

1.61. Найти произведение АВ и ВА двух матриц

∆ Произведение АВ не существует, так как число столбцов матрицы А не равно числу строк матрицы В. Число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А. Следовательно существует произведение ВА:

1.62. Найти матрицу 2А+5В, если

Похожие статьи